Az első cikkemben szó esett arról, mennyire fontos a matematika nyelvét elsajátítani, így egy kicsit ezzel fogok foglalkozni. Elvileg középiskolában és egyetemen is fontos tudni amiről értekezni fogok.
A matematikában állításokat fogalmazunk meg, amelyek vagy igazak, vagy nem, vagy csak bizonyos feltételek mellett azok. Öt fajta logikai műveletet különböztetünk meg, ezek a "konjunkció", "diszjunkció", "negáció", "implikáció", és az "ekvivalencia".
Kezdjük az elsővel. A konjunkció egész egyszerűen az és-nek felel meg. Ha teszünk két állítást, mondjuk legyenek A és B állítások konjunkciója, csak akkor igazak, ha mindkettő igaz. A konjunkció jele: ∧
Tehát A ∧ B csak akkor igaz, ha mindkettő igaz. Ha azt állítjuk, hogy megnézek pár leckét az www.ertedamatekod.blog.hu oldalon, és utána elmegyek moziba, akkor ez az állítás csak akkor igaz, ha mindkettő igaz.
A diszjunkció a vagy-nak felel meg. Jele: ∨
Tehát A ∨ B állítás diszjunkciója akkor hamis, ha mindkét állítás hamis. Hétköznapi értelemben az úgynevezett kizáró vagy-ot szoktuk használni, ami annyit tesz, hogyha az egyik állítás teljesül, akkor a másik nem. Például vagy írunk vagy olvasunk. A matematikában a megengedő vagy érvényesül. Ilyen például a vagy iszom egy teát, vagy eszem egy vajas kenyeret.
A következő logikai állításunk a Negáció. Ez tagadást jelent. Ennek a jelölése egy felülvonás. A állítás tagadása például így néz ki: Ā
Tehát ha A állítás az, hogy elmegyek moziba, akkor Ā állítás az, hogy nem megyek el moziba.
Az implikáció "ha" "akkor" kapcsolatot jelent. Például ha megcsinálod a matekleckét, akkor elmehetsz moziba.
Ha A állításból következik B állítás, azt így jelöljük: A ⇒ B
Tehát egy kettős szárú jobbra mutató nyíllal jelöljük.
Végezetül jöjjön az ekvivalencia. Az ekvivalencia egyenlőséget jelent, tehát például 1/2 és 2^(-1) ekvivalens értékek. (Aki nem jönne rá miért, annak itt van az előző bejegyzésem: http://ertedamatekot.blog.hu/2013/03/18/algebra_i )
Tehát 1/2 ⇔ 2^(-1).
Ha A és B állítás egyenlők, mondjuk A állítás az, hogy elmegyek moziba, B pedig az, hogy elmegyek egy bevásárlóközpontba és megtekintek egy filmet, akkor azt szintén hasonlóan fejezzük ki: A ⇔ B
Most érkeztünk el a kvantorokhoz. A kvantorok úgynevezett nyitott mondatok, amelyek igazsága attól függ, mit helyettesítünk a változó helyére. Tehát ha azt mondom, hogy k forma 1-es versenyző nyert a Monaco-i futamon, akkor ennek az állításnak a helyessége attól függ, kit helyezünk a k változó helyére. Alapvetően két kvantort különböztetünk meg, az egyik az univerzális kvantor, a másik az egzisztenciális kvantor. Az univerzális kvantor egész egyszerűen azt jelenti, hogy minden. Mondjuk legyen az állításunk az, hogy 1/x-re minden x esetén igaz, hogy kisebb vagy egyenlő mint 1, ha x a pozitív egész számok halmazán van értelmezve. Ezt így jelöljük.
(∀x) xєN+⇒ (1/x)≤1
(értsd: minden x, amely eleme a pozitív egész számoknak.)
Egyébként ez igaz lehet a természetes számok halmazán is, hiszen akár negatív számot is írhatunk az x helyére, ugyanakkor a nullával való osztást nem tudjuk értelmezni, így nem teljesen lenne igaz a kijelentésünk.
Ha a valós számok halmazán értelmezzük a kijelentést, akkor már nem feltétlenül igaz. Ha az egyet elosztjuk 0,1-gyel, akkor bizony tízet kapunk eredményül, ami nem kisebb vagy egyenlő mint 1. Viszont ha azt mondjuk, hogy van olyan valós szám, amire igaz ez a kijelentés, akkor már nem hazudunk. Tehát van olyan valós szám, amire igaz, hogy 1/x esetén kisebb, vagy egyenlő mint egy. Hogy jelöljük ezt matematikául?
(∃x) xєR ⇒ (1/x)≤1
Na értjük már mik a kvantorok? Aki elveszett a valós számok és pozitív egész számok rengetegében, annak az alábbi bejegyzésemet tudom ajánlani: http://ertedamatekot.blog.hu/2013/03/16/halmazok_szamhalmazok
Ajánlott bejegyzések:
A bejegyzés trackback címe:
Kommentek:
A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.