Érted a matekot kísérleti blog

Egy nagyon egyszerű témával fogok indítani a halmazokkal. Mi az a halmaz? A halmaz egy olyan fogalom, melyet alapfogalomként tart számon a matematika, tehát nem definiáljuk. Ezzel ugyan sokat nem tudtunk meg a halmazokról, de viszont ezt feltétlenül szükséges tudni. 
Ha a saját szavaimmal szeretném megfogalmazni mi az a halmaz, akkor azt írnám, hogy a halmazok bizonyos elemeket tartalmazó objektumok. 
Tehát mondjuk a halmaz lehet az 1,2,3,4 számok, vagy lehet például a Kairóban élő nőtlen felnőtt korú férfiak. Az előbb leírtak a halmaz ELEMEI. Fontos, hogy a halmaz elemeit mindig egyértelműen meg kell határozni. A szép nők, például nem alkotnak egy halmazt, mert a szép egy relatív fogalom. Viszont a 165 cm magas nők már igen. 
A halmazokat vagy az ábécé nagy betűivel jelöljük, vagy úgy, hogy kapcsos zárójelben felsoroljuk a halmaz elemeit.
Tehát: A,B,C stb... vagy A={1,2,3,4}. 
Azt, hogy egy bizonyos szám eleme egy halmaznak a következőképpen jelöljük. 1 є A vagy x є A
Nyilván az egy és az x helyére bármi írható, ami az adott halmaz eleme. 
Illetve jelölhetjük még a halmazokat Venn-diagram segítségével. Ezek az iskolából már jól ismert ellipszis (vagy kör) alakú objektumok. A halmazok megadhatók az elemeik tulajdonságaival is mint pl: A={kettővel osztható pozitív egész számok}
Létezik az úgynevezett üres halmaz melynek jele: Ø 
Tehát ezzel jelöljük, hogy az ég világon semmilyen elemet nem tartalmaz. 

A halmazokkal végezhetünk műveleteket is. Ezek a következők.

Megadhatjuk egy halmaz részhalmazát. Jele:
tehát A halmaz részhalmaza H halmaznak. 
Ha A halmaz tartalmazza következő elemeket: {1,2,3,4,5,6,7,8}
és H halmaz pedig : {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
Akkor A halmaz részhalmaza H halmaznak, hiszen A halmaz minden eleme, eleme H halmaznak is. Viszont H halmaznak van olyan eleme, ami nem eleme A halmaznak. Ezek konkrétan a 9,10,11,12,12 és a 14 számok. Fontos, hogyha A részhalmaza H-nak, akkor H nem részhalmaza A-nak. Ezen logika mentén, viszont H saját magának is részhalmaza, illetve egy olyan halmaznak is részhalmaza, amelyik ugyan azokat az elemeket tartalmazza mint ő. Ezért bevezetjük most a VALÓDI RÉSZHALMAZ fogalmát.
A például valódi részhalmaza H-nak, hiszen az elemeik nem egyeznek meg teljesen, csak A minden eleme H-nak is eleme. Tehát valódi részhalmaz esetén nem engedünk meg egyenlőséget a halmazok között. A valódi részhalmaz jelölése: 

A következő fogalom amit bevezetünk, az unió fogalma. Ez tulajdonképpen két halmaz elemeinek összeadását jelenti. Jelölése: 
A és H halmaz uniója a következő: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
Nagyon fontos, hogy attól még, hogy kétszer írunk egy elemet, a halmaznak nem lesz több eleme. Tehát fölösleges leírni A halmaz elemeit kétszer.
Venn-diagram: A piros rész jelöli, melyik elemekről van szó. 

Létezik az úgynevezett metszet, mely két halmaz közös elemeit tartalmazza. 
Jelölése:
Vegyünk most másik két halmazt, mint az eredetik voltak. Legyen a nevük B és C.
B={1,2,3,4,5,6,7}
C={5,6,7,8,9,10,11,12}
Látható, hogy a közös elemek az 5 a 6 és a hét lesznek. Ha Venn-diagramon ábrázoljuk, akkor a két ellipszis közös részében fognak elhelyezkedni ezek a számok pont így: 

(Itt is a piros rész jelzi melyik elemekről van szó, ne zavarjon meg titeket az A és a H betű, mert itt általánosan ábrázolom a metszet halmazt, nem konkrétan a B és a C halmazra vonatkozóan.)

Legvégül nézzük meg mi is az a különbség halmaz. A különbség halmaz, két halmaz egymásból való kivonásából születik. Ez azt jelenti, hogyha H-ból kivonjuk A-t, akkor azok az elemek maradnak meg, amelyek H-nak ugyan elemei, de A-nak nem. Ez a következőképpen néz ki:

Jelölése: H\A, tehát egy sima per jelet rakunk a két halmaz közé. Arra ügyelni kell, hogy nem mindegy melyik halmazból vonjuk ki a másikat!!
Egy halmaz vizsgálatakor meg kell adni azt az univerzumot, amiben értelmezzük a halmazt. Ennek a jelen U. Ezt alaphalmaznak is nevezhetjük. Ha mondjuk a kétjegyű, pozitív egész számok az univerzum, akkor a kétjegyű, pozitív egész, páros számok lehet belőlük egy halmaz, a páratlanok pedig egy másik. Fontos fogalom még a komplementer halmaz kifejezés. A komplementer halmaz olyan elemekből áll, melyek az eredeti halmazunknak, legyen mondjuk A halmaz nem elemei, de az alaphalmaznak igen. Ha azon az univerzumon belül akarjuk értelmezni ezt a kifejezést, amit az előbb megadtunk, akkor a kétjegyű pozitív egész, páros számok halmaza komplementer halmaza a kétjegyű, negatív, páros egész számoknak. 

Ha tetszőlegesen kiválasztott számok alkothatnak egy halmazt, akkor a számokat, tulajdonságaik alapján besorolhatjuk halmazokba? A válasz igen! Nézzük sorra, mik ezek a halmazok.

Számhalmazok

A pozitív egész számok, éppen azt jelentik, amit elsőre gondolnánk. 1,2,3,4,5,6, stb.... egészen
a végtelenig. Ezek segítségével meg lehet számolni, hány birkánk van, mennyi cseréptálat késíztettünk. Tehát azok a dolgok értelmezhetők vele, amelyek egészek, és nem akarjuk őket részekre osztani.  Ha valakinek egyetlen birkája sincs, akkor 0 birkája van értelem szerűen. A nulla és a pozitív egész számok alkotják a természetes számok halmazát. Ennek a jele: N Egész szám lehet például az adósság is. Ha valakinek megettük két birkáját, akkor tartozunk neki kettővel. A tartozás negatív szám. Eljutottunk a negatív egész számok halmazáig. Ha az előző halmazokat egybeolvasztjuk, akkor az egész számok halmazáig jutunk el. Ennek a jele: Z.
Mivel fél birkát is meg lehet enni, ezért nyilván valahogyan jelölni kellett a tört számokat. Ha egy számot két egész szám hányadosaként felírhatunk, akkor az egy racionális szám. Fél birka például 1/2 (egyketted) birka. Ha nyolc felé osztunk egy birkát, akkor az egynyolcad 1/8 birka. Így már szerintem teljesen érthető a "két egész szám hányadosa" kifejezés. Az iylen számokat racionális számoknak nevezzük. Jelük: Q
Viszont nagyon hamar észrevették az ókori emberek, hogy nem minden nem egész szám írható úgy, hogy két egész számot elosztunk egymással. Ilyen például a √2. (gyök kettő). Ez az a szám, amit ha megszorzunk önmagával, kettőt kapunk. Bárhogyan osztunk egész számokat, ezt az eredmény nem fogjuk tudni megkapni. Az ehhez hasonló számokat irracionális számoknak nevezzük és Q*-al jelöljük őket. 
Ha a racionális, és irracionális számokat összetesszük, akkor a valós számok halmazát kapjuk. Tehát a valós számok a racionális és irracionális számokból állnak. A valós számok jelölese: R
Mivel elég nehéz egy blogfelület szövegszerkesztőjében megtalálni speciális karakterkódokat (bár azért vannak szép számmal) ezért sima nagy betűkkel jelöltem a számhalmazok jeleit. Így is lehet, de jobb, ha a következő jelöléseket használjátok: 

Ha pozitív egész számokról vagy negatív egész számokról van szó, akkor egyszerűen csak felső indexbe egy + vagy egy - jelet kell rakni.