Érted a matekot kísérleti blog

A hatványozás azonosságai

Felmerül a kérdés, miért kerül bele az anyagba a hatványozás, hiszen mindenki tud hatványozni. Viszont ez nem igaz, valószínűleg most inkább nem tudsz hatványozni mint tudsz! De ne aggódj, mert én megtanítalak!

Mi az a hatványozás? A hatványozás az a művelet, amikor egy számot megszorzod önmagával. Például 2*2=2^2
(ha lenyomva tartod a sz alt Gr gombot, és megnyomod a hármast kétszer, akkor kettő iilen jelet fogsz kapni: ^ Na ez jelenti a hatványozást, tehát 2^2= kettő a másodikon.)

Azt tudjuk, hogyha két számot összeszorzunk n-szer egymással, akkor n-edik hatványt kapunk. Vajon mi van akkor, ha ezeket az n-edik hatványokat megszorozzuk egymással? Válasszuk megint a kettőt példaként! 

2^3*2^2=2^5
De miért? Hát ezért!

2^3=2*2
2^3=2*2*2 
2*2*2*2*2=2^5
Ugye milyen egyszerű? Tehát ha két hatványszámot megszorzunk, akkor a kitevőket össze kell adni.

A hatványszámokat el is oszthatjuk egymással. Válasszuk mondjuk a (2^5/2^3) műveletet. (Kettő az ötödiken osztva kettő a harmadikon.) 

(2*2*2*2*2)/(2*2*2) 
Ekkor tudunk egyszerűsíteni 2*2*2-vel, hiszen ha meg is szorozzuk a kifejezést 2*2*2-vel és el is osztjuk, akkor az olyan, mintha nem csináltunk volna vele semmit. Így az eredmény 2*2=2^2 lesz. (Aki nem látja így át, az nyugodtan írja le papírra.) Tehát két hatványkifejezés osztásánál ki kell vonni a kitevőket egymásból.

Biztosan találkoztatok már olyan kifejezéssel is, hogy a kitevőben tört szám volt. Például 4^(1/2) (azaz négy az egykettediken). Mit is jelent ez a dolog? Tulajdonképpen azt, hogy a négyet az első hatványra emeljük, majd utána gyököt vonunk belőle. Most egy kicsit hívjuk segítségül a gyökvonást. Ha a második hatvány azt jelenti, hogy a számot meg kell szorozni önmagával, akkor a gyökvonás azt a kérdést teszi fel, hogy melyik az a szám, amit ha megszorzol önmagával, a gyök alatti kifejezést kapod? Segítek! 
√4=2 
Tehát ha a kettőt megszorzod önmagával, akkor négyet kapsz. Ha így írjuk a gyökvonást, akkor mindig "lefelejtünk" róla egy kettest, hiszen ez pont a négyzetre emelés ellentét művelete. Ezért valamilyen szám egykettedik gyöke pl: 4^(1/2) az tulajdonképpen gyökvonást jelent. Tehát ezek ekvivalens (egyenértékű) kifejezések.

Mi van akkor, ha egy szám egyharmadik gyökét keressük? Legyen mondjuk ez a szám 8. Ebben az esetben azt az értéket szeretnénk tudni, amelyet háromszor egymás után önmagával megszorozva 8-at kapunk. Mi lehet ez az érték? Természetesen a 2. 2*2*2=8

Valamely szám egyharmadik hatványa egyenlő a harmadik gyökkel amit a következőképpen írunk: ³√8 
Már csak egyvalami van hátra. Az az eset, amikor mondjuk 2^3-t osztunk 2^4-ennel. Ha az előbbi szabály szerint járunk el, akkor ki kellene vonnunk a két kitevőt egymásból. Viszont akkor negatív lenne a kitevő. Lehetséges ilyesmi? A válasz igen! Ebben az esetben 2^(-1) lesz az eredmény, de miért? Fejtsük ki!

(2*2*2)/(2*2*2*2)
Ha kettőször kettőször kettőt elosztjuk kettőször kettőször kettővel, akkor egyet kapunk. A nevezőben egy marad, a számlálóban pedig kettő. Tehát az eredmény 1/2 (azaz egyketted) lesz. Ha (2^3)/(2^5) osztjuk el egymással, akkor 1/2*2, azaz 1/(2^2) marad. Ez ugyan annyi, mint az 1/4. 

Mi van akkor, ha egy eleve hatványozott kifejezést hatványozunk, legyen ez például a (3^3)^2. Bontsuk ki ezt a kifejezést is! Azt kapjuk, hogy a három a harmadikont meg kell szorozni önmagával.
Tehát 3^3*3^3 vagyis 3*3*3 * 3*3*3
Ez 3^6 lesz. Ami azt jelenti, hogy ha egy hatványkifejezést hatványozunk, akkor a kitevőket össze kell szorozni, jelen esetben a kettőt és a hármat.

A fenti tételeket hívjuk a hatványozás azonosságainak. Természetesen minden számra ezek a szabályok vonatkoznak.

 Ha hasznos volt számodra ez az anyag, támogasd az oldalt, akár 200 300, vagy 500 forinttal!