Érted a matekot kísérleti blog

Ha az algebráról beszélünk, akkor a matematika olyan ágáról beszélünk, amiben több a betű, mint a szám. Ez eléggé zavaró lehet, de ha egy két alapszabályt lefektetünk, akkor kevésbé lesz bonyolult számotokra. Először is nézzük meg a matematikai alapműveletek tulajdonságait. Mik az alapműveletek? Szorzás, osztás, összeadás, kivonás. Ebből most kettő lesz fontos számunkra, a szorzás és az összeadás. 

Az összeadás kommutatív, azaz felcserélhető művelet. Ez azt jelenti, hogy: a+b=b+a 
Ezt nem olyan nehéz megérteni, de ha számokat helyettesítetek a betűk helyére, akkor még nyilvánvalóbb lesz.

A szorzás szintén kommutatív: a*b=b*a

Az összeadás asszociatív művelet. Ez azt jelenti, hogy bárhogyan csoportosíthatjuk az összeadandó elemeket, ugyan azt az eredményt kapjuk. Tehát: a+(b+c)=(a+b)+c

A szorzás szintén asszociatív művelet: a*(b*c)=a*b*c

A szorzás az összeadásra nézve disztributív. Még ne veszítsétek el a fonalat, mer ez se bonyolult. 

a*(b+c)=a*b+a*c

Nézzük meg ezt számokkal!
2*(3+4)=2*3+2*4 
Ha kiszámoljátok a kettő kifejezés tényleg ugyan annyi. Annyit kell ebből az utolsóból megjegyezni, hogy tagonként szorozhatjuk a zárójelben lévő összegeket, amivel nem mellesleg felbontjuk a zárójelet. Itt érkeztünk el a nevezetes azonosságokhoz. 

Vajon mit jelent az (a+b)^2 algebrai kifejezés? Aki azt mondja, hogy az (a+b)-t meg kell szorozni önmagával, annak teljesen igaza van. De hogyan tudjuk ezt megcsinálni a gyakorlatban? Ha az előző disztribúcióval kapcsolatos példát megnézzük, akkor rájövünk a megoldásra. A megoldás a tagonként szorzás. 

Tehát a+b)^2=(a+b)*(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b
Mivel a*a és b*b a^2 és b^2, valamint a*b+b*a=2ab (ugye a szorzás kommutatív), ezért az eredmény a következő lesz. a^2+2ab+b^2
Egész egyszerűen csak minden tagot minden taggal beszoroztunk.

 Most bontsuk ki az (a-b)^2 kifejezést! 
(a-b)^2=(a-b)*(a-b)=a^2-2ab+b^2
Ha valakinek gondot okozna az, hogy a b^2 plusz lett és nem mínusz, annak annyit tudok mondani, hogy mínuszszor mínusz az plusz! Remélem ilyen nem volt... 

Van még egy két ilyen nevezetes azonosság, amiknek a végeredményét leírom, de fejtsétek ki ti otthon.

(a-b)*(a+b)=a^2-b^2
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Algebrai kifejezések összevonása

 Az előbb a-kat és b-ket láttunk. Most ezeket helyettesítsük x-szel. Legyenek ezek mondjuk első fokú, másodfokú és harmadfokú kifejezések. Mik ezek a fokok? Ezek természetesen a hatványkitevőre vonatkoznak. Az első fokú kifejezés az első hatványon, a másodika második hatványon stb.. van. Előre szólok, hogy irritálóan szájbarágós leszek, de ez a blog nem matematika zseniknek, hanem leendő matematika zseniknek készült! :) Sajnos a blogban nem tudok "normális" törteket és írni. Ha például iksz plusz kettő per iksz plusz 8-at írok, akkotraz így néz ki: (x+2)/(x+8) 
Azért kell a zárójel, mret ha simán csak x+2/x+8 írnék, akkor az azt jelentené, hogy: iksz, plusz kettő per x, plusz nyolc
Ha mondjuk az (x+8) előtt egy nyolcas szorzó van, akkor kénytelen vagyok kapcsos zárójelet használni így. (x+2)/[8*(x+8)] 
mert ha nem teszem, akkor olyan, mintha azt írnám, hogy: iksz plusz kettő per nyolc, szorozva iksz plusz nyolccal. Remélem érthető volt... Az a legjobb, ha leírod egy papírra a példákat, úgy sokkal könnyebben fogod átlátni.

Először is tisztázzuk a műveleti sorrendet, tehát melyik műveletet végezzük el előbb. A szorzás és az osztás mindig előbbre való, mint az összeadás és a kivonás. A hatványozást és a gyökvonást mindig előbb végezzük el, mint a szorzást az osztást, az összeadást és a kivonást. Ez általános iskolai ismeret, de jobb előre tisztázni.

 Nézzünk egy példát. 
5x+6x^2-4x*5x+7x^3+(2x^3*x^4) polinomot hogyan lehet egyszerűbb alakra hozni? 
Vajon mit kell csinálni a 4x*5x-szel? Az előbb azt mondtuk, hogy a*a=a^2
Ez az x-es kifejezésekre is igaz, x*x=x^2
Az öt és a hat szorzótényezők, tehát az x-et meg kell velük szorozni. Hogy néz ki ez a kifejezés kifejtve?

5*x*6*x=Végezzük el sorban a műveleteket.

5*x=5x
5x*6=30x
30x*x=30*(x*x) Az előbb vázolt asszociativitás miatt. Tehát 30*x^2, azaz 30x^2 lesz az eredmény. 
Mit vehetünk észre? 
Simán azt is tehettük volna, hogy az ötöt megszorozzuk a hattal, és az x-et az x-szel. A kommutativitásra utalok vissza, bármilyen sorrendben szorozhatjuk a szorzat elemeit. 5*6*x*x=30*x^2

Az nyilvánvaló mindenki számára, hogy más kitevőkön lévő kifejezéseket nem tudunk összeadni. Tehát 5x+5x^2-ból nem lesz 10x^2. 
Ha x helyére egy számot helyettesítünk rá is jövünk miért. Legyen ez a száma 3. 
5*3+5*3^2=10+5*27=145
10*3^2=10*27=270
Nézzünk meg a fenti kifejezésünkben lévő szorzást, ami eltérő kitevővel rendelkező kifejezések között megy végbe.
(2x^3*x^4)
Vajon összeszorozhatunk más kiftevőjű algebrai kifejezéseket? A válasz igen! De miért? Bontsuk ki a fenti példát.
2*(x*x*x)*(x*x*x*x)
Remélem mindenkinek nyilvánvaló, hogy az x*x*x=x^3 és x*x*x*x=x^4
Mi történt most? Egyszerűen szorzatot csináltunk a hatványokból. Szorozzuk most össze tagonként. 2x^7-ent kapunk eredményül. (Gondolom mindenki rájött, hogy a szám az x előtt mindig szorzást jelent, hiszen 2x esetében kétszer vesszük az x-et.)

Ha valaki figyelmesen elolvasta a hatványozás azonosságaival kapcsolatos bejegyzésemet, az tudja, hogy két hatványszám szorzásakor a kitevőket össze kell adni. A kettő, mint szorzótényező csak hab volt a tortán, a lényeg a kitevők összeadása volt. Tehát x-ek a-k b-k esetében is érvényesek a hatványozás azonosságai. Mivel ezt most megértettük, ezért ideje lesz egyszerűbb alakra hozni a kifejezést.

5x+6x^2-4x*5x+7x^3+(2x^3*x^4)=5x-20x^2+7x^3+2x^7

Helyettesítsünk be bármilyen számot, az eredmény ugyan az lesz mindkét esetben.

Szorzattá alakítás

A szorzattá alakítás az úgynevezett kiemelés nevű művelettel lehetséges. Ez egy olyan kifejezés, szám, érték, ami a polinom minden elemében megtalálható. 

Vegyük a következő kifejezést. x^2+x
Hogyan alakítsuk ezt szorzattá? A válasz nagyon egyszerű, emeljünk ki x-et! 
x*(x+1) lesz az eredményünk. most szorozzunk vissza! Ha minden tagot megszorzunk minden taggal, mint a disztributivitás szabályánál tanultuk, akkor a következő lesz az eredmény.
x*x+x*1=x^2+x
Most vegyünk egy bonyolultabb kifejezést, legyen mondjuk a: 2x^3+4x^2+8x
Mi az, ami mindhárom tagban megvan? A válasz a 2x. A kettő megvan mindegyik számban, az x pedig nyilván az összes x-es kifejezésben. 
A szorzat a következő lesz: 2x*(x^2+2x+4) 
Ugye azt mondtuk, hogy hatványalakok szorzásakor, a hatványkitevőket össze kell adni, ezért lett a 2x^3-ból x^2, a 4x^2-ból pedig 2x.
Szorozzuk vissza megint tagonként. 
2x*x^2+2x*2x+4*2x=2x^3+4x^2+8x 

Most jöjjön egy nagyon ismerős példa. Alakítsuk szorzattá az x^2+6x+9 kifejezést. Ha észrevettétek, ez a példa egy nevezetes azonossághoz vezet. Mégpedig a következőhöz: (x+3)^2 
Nyugodtan fejtsétek ki! Ha olyan polinomot láttok, ami hasonlít egy nevezetes azonossághoz, akkor mindenképpen ilyesmivel kell próbálkozni. 
Legyen a következő példánk a következő: 3x^2+16x+16
Ez ugyan nem vezethető pontosan vissza egyik nevezetes azonossághoz sem, de ettől függetlenül szorzattá tudjuk alakítani. A következő kifejezést kapjuk belőle: (3x+4)*(x+4)
Jogosan merül fel a kérdés, vajon ezt honnan lehet tudni? Ha megnézzük a szorzatot, és a kifejtett alakot, akkor azt láthatjuk, hogy a 3x közös bennük. Kezdjük e összeszorozni a tagokat. 3x*x=3x^2
El is jutottunk a trükkhöz, hiszen ha a kifejtett alakban az első négyzetes tag előtt egy szorzó van, akkor nyilván a szorzat alakban is ugyan az a szorzó található meg. Az eredeti nevezetes azonosságunk így nézne ki: x^2+8x+16
a^2+2ab+b^2
Az eredeti azonossághoz képest az x-es tag nyolccal több, ez pont annyi, mint amennyi a 3x szorzó miatt kell, hogy több legyen. Majd egy következő bejegyzésben megoldok még pár ilyen feladatot, és adok is gyakorolni valót, érettségin sláger általában a nevezetes azonosságokkal való zsonglőrködés.

 Algebrai törtek szorzása, osztása, egyszerűsítése

 Először egy kis ismétlés. A / jel a törtvonal lesz ebben az esetben! Hogyan végzünk törttel műveleteket?

tört szorzása számmal:
Vagy a számlálót szorozzuk, vagy a nevezőt szorozzuk.
1/8*2=2/8
1/8*2=1/4
Törtet számmal osztás:
vagy a számlálót szorozzuk, vagy a nevezőt osztjuk.
(8/16)/2=8/32
(8/16)/2=4/16
Törtet törttel szorzás:
A számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel.
3/4*1/2=3/8
Törtet törttel osztás:
Na itt már egy kicsit bonyolultabb a dolog, mert be kell vezetni a reciprok fogalmát. A szám reciproka az a szám, amit ha megszorzunk a számmal, akkor egyet kapunk. 2-nek például 1/2 a reciproka. De miért? Ha egy számot megszorzunk 1/2-del, akkor olyan, mintha elosztanánk kettővel. Szorozzuk meg a kettőt 1/2-del. 2/2-et, azaz egyet kapunk, ami a kettő fele. Az egyharmad ilyen értelemben a hárommal való osztást jelenti, az egynegyed pedig.....
Na ezért kell a reciprokkal szorozni!
Nézzünk példát. 
(2/9)/3/6=(2/9)*(6/3)=(12/27)
Ne felejtsük el, hogy a törtvonal osztást jelent, tehát a hatharmad, az valójában kettő. Így 4/9 is jó eredmény. 

Hogyan hozunk közös nevezőre törteket? Mondjuk ha össze kell adni a következő kifejezéseket mit tegyünk?
1/2+3/4
Láthatjuk, hogy a 4 mindegyik számnak a többszöröse. Az, a kettőnek a kétszerese, a négynek pedig az egyszerese. Mi lesz a törtekből, ha 4 lesz a nevezőjük? Nyilván meg kell annyival kell megszorozni a számlálókat is, mint amennyivel a nevezőket. Az eredmény a következő lesz:
2/4+3/4=5/4
Most, hogy átismételtük a törtekre vonatkozó szabályokat, foglalkozhatunk az algebrai törtekkel. 
Mivel rájuk is ugyan ezek a szabályok vonatkoznak, sorban végigvesszük őket.
a/b*3=3a/b A számlálót szoroztuk ugye hárommal. A nevezőt is oszthatnánk, itt nem sok értelme lenne.
a/b:3=a/3b Most a nevezőt szoroztuk. Itt az a/3-nak nem lenne sok értelme a számlálóban. 
a/b+c/d=
Hozzuk közös nevezőre őket! A legegyszerűbb, ha összeszorozzuk a nevezőket, aminek az eredménye b*d lesz. Ezt egyszerűen bd-nek is írhatjuk. Ha a számlálót annyiszor kell megszorozni mint a nevezőt, akkor a következő kifejezés lesz az eredményünk.
ad/bd+bc/bd=(ad+bc)/bd
Ha így írjuk a törtet, akkor mindenképpen zárójelbe kell tenni a számlálót, mert ha nem tesszük olyan, mintha ad-hez adnánk hozzá bc/bd-t.
A kivonáshoz nyilván hasonlóképpen kell eljárni, csak ott kivonjuk egymásból a számlálókat. 
Nézzünk egy kicsit értelmesebb példát!

(x+2)/(4-4x)*(8-8x)/(2x+5) 
Oldjuk meg a feladatot! Az első, amit észreveszünk, hogy 4-4x-et és 8-8x-et is lehet egyszerűsíteni, méghozzá szorzattá alakítással. 
(x+2)/[4*(1-x)]*[8*(1-x)]/(2x+5) 

Mit veszünk észre? Az egyik törtnek a számlálójában, a másiknak a nevezőjében van az (x-1). Ha ezeket össze kell szorozni, akkor tulajdonképpen egyszer megszorozzuk, utána pedig elosztjuk az (1-x)-szel a kifejezést. Miért? Szorozzuk meg a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel!
[(x+2)*8*(1-x)]/[4*(1-x)*(2x+5)] 
A számláló ugye osztást jelent, ha egy szám pedig a nevezőben van, az olyan, mintha megszoroznánk vele a törtet. Így tulajdonképpen egyszerűsíthetünk (1-x)-szel. Mi marad?
[(x+2)/4]*[8/(2x+5)]
Ha ezután a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel összeszorozzuk:
[8*(x+2)/[4*(2x+5)]

Most tekintsünk meg egy nevezetes azonossággal kapcsolatos példát!
(x^2-4x+8)/(x-2)
Egyből feltűnik, hogy egy nevezetes azonosság van a nevezőben. Most hozzuk ezt szorzat alakra.
[(x-2)*(x-2)]/(x-2)=Mivel le is osztottunk (x-2)-vel, meg meg is szoroztuk vele a törtet, ezért lehet vele egyszerűsíteni.
Így egész egyszerűen (x-2)/1, azaz (x-2) marad. 

Ebben a pillanatban vége is szerintem a világ egyik leghosszabb matekkal foglalkozó blogbejegyzésének, remélem tudtam segíteni, ha igen, akkor Akinek hasznos volt a blog, az alábbi paypal számlára tud adományozni: