Érted a matekot kísérleti blog

Ezt a blogot azért hoztam létre, mert sokakat látok küszködni a matematikával a környezetemben. Szeretném segítséget nyújtani azoknak, akiknek a matek tanulás nehézségeket okoz. Nincsenek világrengető alternatív módszereim, a józan ész szabályai szerint próbálok szerkeszteni a cikkeimet.

facebook

HTML doboz

Friss topikok

Archívum

2013.03.21. 20:16 ertedamatekot

Algebra I.

Ha az algebráról beszélünk, akkor a matematika olyan ágáról beszélünk, amiben több a betű, mint a szám. Ez eléggé zavaró lehet, de ha egy két alapszabályt lefektetünk, akkor kevésbé lesz bonyolult számotokra. Először is nézzük meg a matematikai alapműveletek tulajdonságait. Mik az alapműveletek? Szorzás, osztás, összeadás, kivonás. Ebből most kettő lesz fontos számunkra, a szorzás és az összeadás. 

Az összeadás kommutatív, azaz felcserélhető művelet. Ez azt jelenti, hogy: a+b=b+a 
Ezt nem olyan nehéz megérteni, de ha számokat helyettesítetek a betűk helyére, akkor még nyilvánvalóbb lesz.

A szorzás szintén kommutatív: a*b=b*a

Az összeadás asszociatív művelet. Ez azt jelenti, hogy bárhogyan csoportosíthatjuk az összeadandó elemeket, ugyan azt az eredményt kapjuk. Tehát: a+(b+c)=(a+b)+c

A szorzás szintén asszociatív művelet: a*(b*c)=a*b*c

A szorzás az összeadásra nézve disztributív. Még ne veszítsétek el a fonalat, mer ez se bonyolult. 

a*(b+c)=a*b+a*c

Nézzük meg ezt számokkal!
2*(3+4)=2*3+2*4 
Ha kiszámoljátok a kettő kifejezés tényleg ugyan annyi. Annyit kell ebből az utolsóból megjegyezni, hogy tagonként szorozhatjuk a zárójelben lévő összegeket, amivel nem mellesleg felbontjuk a zárójelet. Itt érkeztünk el a nevezetes azonosságokhoz. 

Vajon mit jelent az (a+b)^2 algebrai kifejezés? Aki azt mondja, hogy az (a+b)-t meg kell szorozni önmagával, annak teljesen igaza van. De hogyan tudjuk ezt megcsinálni a gyakorlatban? Ha az előző disztribúcióval kapcsolatos példát megnézzük, akkor rájövünk a megoldásra. A megoldás a tagonként szorzás. 

Tehát a+b)^2=(a+b)*(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b
Mivel a*a és b*b a^2 és b^2, valamint a*b+b*a=2ab (ugye a szorzás kommutatív), ezért az eredmény a következő lesz. a^2+2ab+b^2
Egész egyszerűen csak minden tagot minden taggal beszoroztunk.

 Most bontsuk ki az (a-b)^2 kifejezést! 
(a-b)^2=(a-b)*(a-b)=a^2-2ab+b^2
Ha valakinek gondot okozna az, hogy a b^2 plusz lett és nem mínusz, annak annyit tudok mondani, hogy mínuszszor mínusz az plusz! Remélem ilyen nem volt... 

Van még egy két ilyen nevezetes azonosság, amiknek a végeredményét leírom, de fejtsétek ki ti otthon.

(a-b)*(a+b)=a^2-b^2
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Algebrai kifejezések összevonása

 Az előbb a-kat és b-ket láttunk. Most ezeket helyettesítsük x-szel. Legyenek ezek mondjuk első fokú, másodfokú és harmadfokú kifejezések. Mik ezek a fokok? Ezek természetesen a hatványkitevőre vonatkoznak. Az első fokú kifejezés az első hatványon, a másodika második hatványon stb.. van. Előre szólok, hogy irritálóan szájbarágós leszek, de ez a blog nem matematika zseniknek, hanem leendő matematika zseniknek készült! :) Sajnos a blogban nem tudok "normális" törteket és írni. Ha például iksz plusz kettő per iksz plusz 8-at írok, akkotraz így néz ki: (x+2)/(x+8) 
Azért kell a zárójel, mret ha simán csak x+2/x+8 írnék, akkor az azt jelentené, hogy: iksz, plusz kettő per x, plusz nyolc
Ha mondjuk az (x+8) előtt egy nyolcas szorzó van, akkor kénytelen vagyok kapcsos zárójelet használni így. (x+2)/[8*(x+8)] 
mert ha nem teszem, akkor olyan, mintha azt írnám, hogy: iksz plusz kettő per nyolc, szorozva iksz plusz nyolccal. Remélem érthető volt... Az a legjobb, ha leírod egy papírra a példákat, úgy sokkal könnyebben fogod átlátni.

Először is tisztázzuk a műveleti sorrendet, tehát melyik műveletet végezzük el előbb. A szorzás és az osztás mindig előbbre való, mint az összeadás és a kivonás. A hatványozást és a gyökvonást mindig előbb végezzük el, mint a szorzást az osztást, az összeadást és a kivonást. Ez általános iskolai ismeret, de jobb előre tisztázni.

 Nézzünk egy példát. 
5x+6x^2-4x*5x+7x^3+(2x^3*x^4) polinomot hogyan lehet egyszerűbb alakra hozni? 
Vajon mit kell csinálni a 4x*5x-szel? Az előbb azt mondtuk, hogy a*a=a^2
Ez az x-es kifejezésekre is igaz, x*x=x^2
Az öt és a hat szorzótényezők, tehát az x-et meg kell velük szorozni. Hogy néz ki ez a kifejezés kifejtve?

5*x*6*x=Végezzük el sorban a műveleteket.

5*x=5x
5x*6=30x
30x*x=30*(x*x) Az előbb vázolt asszociativitás miatt. Tehát 30*x^2, azaz 30x^2 lesz az eredmény. 
Mit vehetünk észre? 
Simán azt is tehettük volna, hogy az ötöt megszorozzuk a hattal, és az x-et az x-szel. A kommutativitásra utalok vissza, bármilyen sorrendben szorozhatjuk a szorzat elemeit. 5*6*x*x=30*x^2

Az nyilvánvaló mindenki számára, hogy más kitevőkön lévő kifejezéseket nem tudunk összeadni. Tehát 5x+5x^2-ból nem lesz 10x^2. 
Ha x helyére egy számot helyettesítünk rá is jövünk miért. Legyen ez a száma 3. 
5*3+5*3^2=10+5*27=145
10*3^2=10*27=270
Nézzünk meg a fenti kifejezésünkben lévő szorzást, ami eltérő kitevővel rendelkező kifejezések között megy végbe.
(2x^3*x^4)
Vajon összeszorozhatunk más kiftevőjű algebrai kifejezéseket? A válasz igen! De miért? Bontsuk ki a fenti példát.
2*(x*x*x)*(x*x*x*x)
Remélem mindenkinek nyilvánvaló, hogy az x*x*x=x^3 és x*x*x*x=x^4
Mi történt most? Egyszerűen szorzatot csináltunk a hatványokból. Szorozzuk most össze tagonként. 2x^7-ent kapunk eredményül. (Gondolom mindenki rájött, hogy a szám az x előtt mindig szorzást jelent, hiszen 2x esetében kétszer vesszük az x-et.)

Ha valaki figyelmesen elolvasta a hatványozás azonosságaival kapcsolatos bejegyzésemet, az tudja, hogy két hatványszám szorzásakor a kitevőket össze kell adni. A kettő, mint szorzótényező csak hab volt a tortán, a lényeg a kitevők összeadása volt. Tehát x-ek a-k b-k esetében is érvényesek a hatványozás azonosságai. Mivel ezt most megértettük, ezért ideje lesz egyszerűbb alakra hozni a kifejezést.

5x+6x^2-4x*5x+7x^3+(2x^3*x^4)=5x-20x^2+7x^3+2x^7

Helyettesítsünk be bármilyen számot, az eredmény ugyan az lesz mindkét esetben.

Szorzattá alakítás

A szorzattá alakítás az úgynevezett kiemelés nevű művelettel lehetséges. Ez egy olyan kifejezés, szám, érték, ami a polinom minden elemében megtalálható. 

Vegyük a következő kifejezést. x^2+x
Hogyan alakítsuk ezt szorzattá? A válasz nagyon egyszerű, emeljünk ki x-et! 
x*(x+1) lesz az eredményünk. most szorozzunk vissza! Ha minden tagot megszorzunk minden taggal, mint a disztributivitás szabályánál tanultuk, akkor a következő lesz az eredmény.
x*x+x*1=x^2+x
Most vegyünk egy bonyolultabb kifejezést, legyen mondjuk a: 2x^3+4x^2+8x
Mi az, ami mindhárom tagban megvan? A válasz a 2x. A kettő megvan mindegyik számban, az x pedig nyilván az összes x-es kifejezésben. 
A szorzat a következő lesz: 2x*(x^2+2x+4) 
Ugye azt mondtuk, hogy hatványalakok szorzásakor, a hatványkitevőket össze kell adni, ezért lett a 2x^3-ból x^2, a 4x^2-ból pedig 2x.
Szorozzuk vissza megint tagonként. 
2x*x^2+2x*2x+4*2x=2x^3+4x^2+8x 

Most jöjjön egy nagyon ismerős példa. Alakítsuk szorzattá az x^2+6x+9 kifejezést. Ha észrevettétek, ez a példa egy nevezetes azonossághoz vezet. Mégpedig a következőhöz: (x+3)^2 
Nyugodtan fejtsétek ki! Ha olyan polinomot láttok, ami hasonlít egy nevezetes azonossághoz, akkor mindenképpen ilyesmivel kell próbálkozni. 
Legyen a következő példánk a következő: 3x^2+16x+16
Ez ugyan nem vezethető pontosan vissza egyik nevezetes azonossághoz sem, de ettől függetlenül szorzattá tudjuk alakítani. A következő kifejezést kapjuk belőle: (3x+4)*(x+4)
Jogosan merül fel a kérdés, vajon ezt honnan lehet tudni? Ha megnézzük a szorzatot, és a kifejtett alakot, akkor azt láthatjuk, hogy a 3x közös bennük. Kezdjük e összeszorozni a tagokat. 3x*x=3x^2
El is jutottunk a trükkhöz, hiszen ha a kifejtett alakban az első négyzetes tag előtt egy szorzó van, akkor nyilván a szorzat alakban is ugyan az a szorzó található meg. Az eredeti nevezetes azonosságunk így nézne ki: x^2+8x+16
a^2+2ab+b^2
Az eredeti azonossághoz képest az x-es tag nyolccal több, ez pont annyi, mint amennyi a 3x szorzó miatt kell, hogy több legyen. Majd egy következő bejegyzésben megoldok még pár ilyen feladatot, és adok is gyakorolni valót, érettségin sláger általában a nevezetes azonosságokkal való zsonglőrködés.

 Algebrai törtek szorzása, osztása, egyszerűsítése

 Először egy kis ismétlés. A / jel a törtvonal lesz ebben az esetben! Hogyan végzünk törttel műveleteket?

tört szorzása számmal:
Vagy a számlálót szorozzuk, vagy a nevezőt szorozzuk.
1/8*2=2/8
1/8*2=1/4
Törtet számmal osztás:
vagy a számlálót szorozzuk, vagy a nevezőt osztjuk.
(8/16)/2=8/32
(8/16)/2=4/16
Törtet törttel szorzás:
A számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel.
3/4*1/2=3/8
Törtet törttel osztás:
Na itt már egy kicsit bonyolultabb a dolog, mert be kell vezetni a reciprok fogalmát. A szám reciproka az a szám, amit ha megszorzunk a számmal, akkor egyet kapunk. 2-nek például 1/2 a reciproka. De miért? Ha egy számot megszorzunk 1/2-del, akkor olyan, mintha elosztanánk kettővel. Szorozzuk meg a kettőt 1/2-del. 2/2-et, azaz egyet kapunk, ami a kettő fele. Az egyharmad ilyen értelemben a hárommal való osztást jelenti, az egynegyed pedig.....
Na ezért kell a reciprokkal szorozni!
Nézzünk példát. 
(2/9)/3/6=(2/9)*(6/3)=(12/27)
Ne felejtsük el, hogy a törtvonal osztást jelent, tehát a hatharmad, az valójában kettő. Így 4/9 is jó eredmény. 

Hogyan hozunk közös nevezőre törteket? Mondjuk ha össze kell adni a következő kifejezéseket mit tegyünk?
1/2+3/4
Láthatjuk, hogy a 4 mindegyik számnak a többszöröse. Az, a kettőnek a kétszerese, a négynek pedig az egyszerese. Mi lesz a törtekből, ha 4 lesz a nevezőjük? Nyilván meg kell annyival kell megszorozni a számlálókat is, mint amennyivel a nevezőket. Az eredmény a következő lesz:
2/4+3/4=5/4
Most, hogy átismételtük a törtekre vonatkozó szabályokat, foglalkozhatunk az algebrai törtekkel. 
Mivel rájuk is ugyan ezek a szabályok vonatkoznak, sorban végigvesszük őket.
a/b*3=3a/b A számlálót szoroztuk ugye hárommal. A nevezőt is oszthatnánk, itt nem sok értelme lenne.
a/b:3=a/3b Most a nevezőt szoroztuk. Itt az a/3-nak nem lenne sok értelme a számlálóban. 
a/b+c/d=
Hozzuk közös nevezőre őket! A legegyszerűbb, ha összeszorozzuk a nevezőket, aminek az eredménye b*d lesz. Ezt egyszerűen bd-nek is írhatjuk. Ha a számlálót annyiszor kell megszorozni mint a nevezőt, akkor a következő kifejezés lesz az eredményünk.
ad/bd+bc/bd=(ad+bc)/bd
Ha így írjuk a törtet, akkor mindenképpen zárójelbe kell tenni a számlálót, mert ha nem tesszük olyan, mintha ad-hez adnánk hozzá bc/bd-t.
A kivonáshoz nyilván hasonlóképpen kell eljárni, csak ott kivonjuk egymásból a számlálókat. 
Nézzünk egy kicsit értelmesebb példát!

(x+2)/(4-4x)*(8-8x)/(2x+5) 
Oldjuk meg a feladatot! Az első, amit észreveszünk, hogy 4-4x-et és 8-8x-et is lehet egyszerűsíteni, méghozzá szorzattá alakítással. 
(x+2)/[4*(1-x)]*[8*(1-x)]/(2x+5) 

Mit veszünk észre? Az egyik törtnek a számlálójában, a másiknak a nevezőjében van az (x-1). Ha ezeket össze kell szorozni, akkor tulajdonképpen egyszer megszorozzuk, utána pedig elosztjuk az (1-x)-szel a kifejezést. Miért? Szorozzuk meg a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel!
[(x+2)*8*(1-x)]/[4*(1-x)*(2x+5)] 
A számláló ugye osztást jelent, ha egy szám pedig a nevezőben van, az olyan, mintha megszoroznánk vele a törtet. Így tulajdonképpen egyszerűsíthetünk (1-x)-szel. Mi marad?
[(x+2)/4]*[8/(2x+5)]
Ha ezután a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel összeszorozzuk:
[8*(x+2)/[4*(2x+5)]

Most tekintsünk meg egy nevezetes azonossággal kapcsolatos példát!
(x^2-4x+8)/(x-2)
Egyből feltűnik, hogy egy nevezetes azonosság van a nevezőben. Most hozzuk ezt szorzat alakra.
[(x-2)*(x-2)]/(x-2)=Mivel le is osztottunk (x-2)-vel, meg meg is szoroztuk vele a törtet, ezért lehet vele egyszerűsíteni.
Így egész egyszerűen (x-2)/1, azaz (x-2) marad. 

Ebben a pillanatban vége is szerintem a világ egyik leghosszabb matekkal foglalkozó blogbejegyzésének, remélem tudtam segíteni, ha igen, akkor Akinek hasznos volt a blog, az alábbi paypal számlára tud adományozni:

Szólj hozzá!

Címkék: algebra egyszerűsítés szozattá alakítás algebrai törtek


2013.03.20. 13:21 ertedamatekot

Logikai alapfogalmak, matematikai jelölések

Az első cikkemben szó esett arról, mennyire fontos a matematika nyelvét elsajátítani, így egy kicsit ezzel fogok foglalkozni. Elvileg középiskolában és egyetemen is fontos tudni amiről értekezni fogok. 

A matematikában állításokat fogalmazunk meg, amelyek vagy igazak, vagy nem, vagy csak bizonyos feltételek mellett azok. Öt fajta logikai műveletet különböztetünk meg, ezek a "konjunkció", "diszjunkció", "negáció", "implikáció", és az "ekvivalencia".

Kezdjük az elsővel. A konjunkció egész egyszerűen az és-nek felel meg. Ha teszünk két állítást, mondjuk legyenek A és B állítások konjunkciója, csak akkor igazak, ha mindkettő igaz. A konjunkció jele: 
Tehát A  B csak akkor igaz, ha mindkettő igaz. Ha azt állítjuk, hogy megnézek pár leckét az www.ertedamatekod.blog.hu oldalon, és utána elmegyek moziba, akkor ez az állítás csak akkor igaz, ha mindkettő igaz. 

A diszjunkció a vagy-nak felel meg. Jele: ∨ 
Tehát A ∨ B állítás diszjunkciója akkor hamis, ha mindkét állítás hamis. Hétköznapi értelemben az úgynevezett kizáró vagy-ot szoktuk használni, ami annyit tesz, hogyha az egyik állítás teljesül, akkor a másik nem. Például vagy írunk vagy olvasunk. A matematikában a megengedő vagy érvényesül. Ilyen például a vagy iszom egy teát, vagy eszem egy vajas kenyeret. 

A következő logikai állításunk a Negáció. Ez tagadást jelent. Ennek a jelölése egy felülvonás. A állítás tagadása például így néz ki: Ā
Tehát ha A állítás az, hogy elmegyek moziba, akkor Ā állítás az, hogy nem megyek el moziba. 

Az implikáció "ha" "akkor" kapcsolatot jelent. Például ha megcsinálod a matekleckét, akkor elmehetsz moziba. 
Ha A állításból következik B állítás, azt így jelöljük: A ⇒ B 
Tehát egy kettős szárú jobbra mutató nyíllal jelöljük.

Végezetül jöjjön az ekvivalencia. Az ekvivalencia egyenlőséget jelent, tehát például 1/2 és 2^(-1) ekvivalens értékek. (Aki nem jönne rá miért, annak itt van az előző bejegyzésem: http://ertedamatekot.blog.hu/2013/03/18/algebra_i )
Tehát 1/2 ⇔ 2^(-1). 
Ha A és B állítás egyenlők, mondjuk A állítás az, hogy elmegyek moziba, B pedig az, hogy elmegyek egy bevásárlóközpontba és megtekintek egy filmet, akkor azt szintén hasonlóan fejezzük ki: ⇔ B

Most érkeztünk el a kvantorokhoz. A kvantorok úgynevezett nyitott mondatok, amelyek igazsága attól függ, mit helyettesítünk a változó helyére. Tehát ha azt mondom, hogy k forma 1-es versenyző nyert a Monaco-i futamon, akkor ennek az állításnak a helyessége attól függ, kit helyezünk a k változó helyére. Alapvetően két kvantort különböztetünk meg, az egyik az univerzális kvantor, a másik az egzisztenciális kvantor. Az univerzális kvantor egész egyszerűen azt jelenti, hogy minden. Mondjuk legyen az állításunk az, hogy 1/x-re minden x esetén igaz, hogy kisebb vagy egyenlő mint 1, ha x a pozitív egész számok halmazán van értelmezve. Ezt így jelöljük. 
(∀x) xєN+⇒ (1/x)≤1 
(értsd: minden x, amely eleme a pozitív egész számoknak.)
Egyébként ez igaz lehet a természetes számok halmazán is, hiszen akár negatív számot is írhatunk az x helyére, ugyanakkor a nullával való osztást nem tudjuk értelmezni, így nem teljesen lenne igaz a kijelentésünk. 

Ha a valós számok halmazán értelmezzük a kijelentést, akkor már nem feltétlenül igaz. Ha az egyet elosztjuk 0,1-gyel, akkor bizony tízet kapunk eredményül, ami nem kisebb vagy egyenlő mint 1. Viszont ha azt mondjuk, hogy van olyan valós szám, amire igaz ez a kijelentés, akkor már nem hazudunk. Tehát van olyan valós szám, amire igaz, hogy 1/x esetén kisebb, vagy egyenlő mint egy. Hogy jelöljük ezt matematikául?
(∃x) xєR ⇒ (1/x)≤1 

Na értjük már mik a kvantorok? Aki elveszett a valós számok és pozitív egész számok rengetegében, annak az alábbi bejegyzésemet tudom ajánlani: http://ertedamatekot.blog.hu/2013/03/16/halmazok_szamhalmazok

Szólj hozzá!


2013.03.18. 20:33 ertedamatekot

Hatványozás

A hatványozás azonosságai

Felmerül a kérdés, miért kerül bele az anyagba a hatványozás, hiszen mindenki tud hatványozni. Viszont ez nem igaz, valószínűleg most inkább nem tudsz hatványozni mint tudsz! De ne aggódj, mert én megtanítalak!

Mi az a hatványozás? A hatványozás az a művelet, amikor egy számot megszorzod önmagával. Például 2*2=2^2
(ha lenyomva tartod a sz alt Gr gombot, és megnyomod a hármast kétszer, akkor kettő iilen jelet fogsz kapni: ^ Na ez jelenti a hatványozást, tehát 2^2= kettő a másodikon.)

Azt tudjuk, hogyha két számot összeszorzunk n-szer egymással, akkor n-edik hatványt kapunk. Vajon mi van akkor, ha ezeket az n-edik hatványokat megszorozzuk egymással? Válasszuk megint a kettőt példaként! 

2^3*2^2=2^5
De miért? Hát ezért!

2^3=2*2
2^3=2*2*2 
2*2*2*2*2=2^5
Ugye milyen egyszerű? Tehát ha két hatványszámot megszorzunk, akkor a kitevőket össze kell adni.

A hatványszámokat el is oszthatjuk egymással. Válasszuk mondjuk a (2^5/2^3) műveletet. (Kettő az ötödiken osztva kettő a harmadikon.) 

(2*2*2*2*2)/(2*2*2) 
Ekkor tudunk egyszerűsíteni 2*2*2-vel, hiszen ha meg is szorozzuk a kifejezést 2*2*2-vel és el is osztjuk, akkor az olyan, mintha nem csináltunk volna vele semmit. Így az eredmény 2*2=2^2 lesz. (Aki nem látja így át, az nyugodtan írja le papírra.) Tehát két hatványkifejezés osztásánál ki kell vonni a kitevőket egymásból.

Biztosan találkoztatok már olyan kifejezéssel is, hogy a kitevőben tört szám volt. Például 4^(1/2) (azaz négy az egykettediken). Mit is jelent ez a dolog? Tulajdonképpen azt, hogy a négyet az első hatványra emeljük, majd utána gyököt vonunk belőle. Most egy kicsit hívjuk segítségül a gyökvonást. Ha a második hatvány azt jelenti, hogy a számot meg kell szorozni önmagával, akkor a gyökvonás azt a kérdést teszi fel, hogy melyik az a szám, amit ha megszorzol önmagával, a gyök alatti kifejezést kapod? Segítek! 
√4=2 
Tehát ha a kettőt megszorzod önmagával, akkor négyet kapsz. Ha így írjuk a gyökvonást, akkor mindig "lefelejtünk" róla egy kettest, hiszen ez pont a négyzetre emelés ellentét művelete. Ezért valamilyen szám egykettedik gyöke pl: 4^(1/2) az tulajdonképpen gyökvonást jelent. Tehát ezek ekvivalens (egyenértékű) kifejezések.

Mi van akkor, ha egy szám egyharmadik gyökét keressük? Legyen mondjuk ez a szám 8. Ebben az esetben azt az értéket szeretnénk tudni, amelyet háromszor egymás után önmagával megszorozva 8-at kapunk. Mi lehet ez az érték? Természetesen a 2. 2*2*2=8

Valamely szám egyharmadik hatványa egyenlő a harmadik gyökkel amit a következőképpen írunk: 3√8 
Már csak egyvalami van hátra. Az az eset, amikor mondjuk 2^3-t osztunk 2^4-ennel. Ha az előbbi szabály szerint járunk el, akkor ki kellene vonnunk a két kitevőt egymásból. Viszont akkor negatív lenne a kitevő. Lehetséges ilyesmi? A válasz igen! Ebben az esetben 2^(-1) lesz az eredmény, de miért? Fejtsük ki!

(2*2*2)/(2*2*2*2)
Ha kettőször kettőször kettőt elosztjuk kettőször kettőször kettővel, akkor egyet kapunk. A nevezőben egy marad, a számlálóban pedig kettő. Tehát az eredmény 1/2 (azaz egyketted) lesz. Ha (2^3)/(2^5) osztjuk el egymással, akkor 1/2*2, azaz 1/(2^2) marad. Ez ugyan annyi, mint az 1/4. 

Mi van akkor, ha egy eleve hatványozott kifejezést hatványozunk, legyen ez például a (3^3)^2. Bontsuk ki ezt a kifejezést is! Azt kapjuk, hogy a három a harmadikont meg kell szorozni önmagával.
Tehát 3^3*3^3 vagyis 3*3*3 * 3*3*3
Ez 3^6 lesz. Ami azt jelenti, hogy ha egy hatványkifejezést hatványozunk, akkor a kitevőket össze kell szorozni, jelen esetben a kettőt és a hármat.

A fenti tételeket hívjuk a hatványozás azonosságainak. Természetesen minden számra ezek a szabályok vonatkoznak.

 Ha hasznos volt számodra ez az anyag, támogasd az oldalt, akár 200 300, vagy 500 forinttal!

 

 

Szólj hozzá!

Címkék: algebra egyenlet hatványozás gyökvonás másodfokú egyenlet kétismeretlenes egyenlet hatványozás azonosságai elsőfokú egyenlet harmadfokú egyenlet egyismeretlenes egyenlet


2013.03.18. 17:56 ertedamatekot

Síkgeometria II.

Ebben a cikkben a négyszögekről, és a sokszögekről fog szó esni, egyébként ebben a sorrendben. Megnézzük milyen fajta sokszögek léteznek, és azoknak milyen tulajdonságaik vannak.

Négyszögek

A négyszögek négy darab szöggel rendelkező síkbeli testek. Ezzel azt hiszem senkinek nem árultam el újdonságot. 

Kezdjük a paralelogrammával. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.Az az érdekes vele kapcsolatban, hogy a szemben fekvő szögei egyenlőek. Nézzük erről egy ábrát. Az e és a b szögek egyenlők, mert váltószögek. Az a és az e szögek pedig egyállású szögek. Így nyilván a c és az a szögeknek is egyenlőnek kell lenniük. Az egy oldalon fekvő szögei pedig 180°-ra egészítik ki egymást. Az "a" és a "f" szögek egyállású szögek, és egyenlőek. A "d" és a "f" mellékszögek, tehát 180°-ot zárnak be együtt. Így az "a" és a "d" is 180°-os szöget alkotnak. 

paralelogramma egyenlő szögek egy oldalon fekvő1.pngA paralelogramma átlói felezik egymást. Az APB háromszög és a CPD háromszögek ugyan olyanok, ezt matematikául úgy mondjuk, hogy egybevágóak. Ha viszont ezek a háromszögek egybevágóak, akkor AP-PD szakad és a BP-PC szakasz egyenlő hosszúságúak. paralelogramma.pngA téglalap olyan paralelogramma, amelynek négy derékszöge van. téglalap1.png
A rombusz olyan négyszög, amelynek szemben fekvő oldalai párhuzamosak, és az oldalai egyenlő hosszúságúak. Ha kicsit továbbgondoljuk, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a szemközti szögei ennek is egyenlő nagyságúak, illetve ezek átlói is felezik egymást. A rombusz esetében az átlók úgynevezett szimmetriatengelyek is. Ez nagyjából azt jelenti, hogy félbehajtanánk az átlók mentén, fednék egymást az így keletkezett háromszögek. Az átlók egyébként merőlegesek egymásra. 
rombusz2.png
A négyzetnek négy egyenlő oldala és négy derékszöge van. Ugyan az igaz rá, mint a rombuszra, csak ennek átlói megegyező hosszúságúak. négyzet1.png
A trapéz olyan négyzet, melynek legalább két párhuzamos oldala van. Van egy speciális formája, mely a jobb oldalon látható, ezt derékszögű trapéznak nevezzük. Neki egy derékszöge van. A trapéz szemközti szögei 180 fokra egészítik ki egymást. Amint az alsó ábrán látjuk, az "a" és az "f" szögek egyenlők, a "d" és az "f" pedig egy egyenes szöget alkotnak. Így nyilván "a" és "d" is egyenes szöget kell, hogy létrehozzanak együtt.trapéz + derékszögű trapéz_1.pngtrapéz + derékszögű trapéz 180 fok_1.pngLegvégül nézzük meg a deltoidod. A deltoid a papírsárkány forma. A deltoid átlói merőlegesek egymásra, és a hosszabbik átlója a deltoid szimmetriatengelye. (A szimmetriatengely mentén ha tükröznénk az egyik oldalt, ugyan azt az alakzatot kapnánk.) deltoid1.png

A négyszög belső szögeinek összege 360°. A négyszöget átlói mentén két háromszögre bonthatjuk, egy háromszög belső szögeinek össze 180°.....
négyszög 360fok.png

A sokszögek

Elég sokféle sokszög van, de bizonyos tulajdonságok mindegyikre egyaránt vonatkoznak. Ilyen például a sokszögek átlójának a száma. Ha meg akarjuk tudni egy százszög csúcsaiból hány átló húzható, akkor egy képletet kell segítségül hívnunk. Ez az [(n-3)*n]/2. (A * jel a szorzást jelenti.) De vajon hogyan áll össze ez a képlet? Ha az alsó ábrára tekintünk, akkor észrevesszük, hogy a sokszögek egy egy csúcsából átlók vanna húzva a szemközti csúcsba. Méghozzá annyi, amennyit egy átlóból maximálisan húzhatunk. Ez az ötszög esetében kettő, a hatszög esetében három, a hétszög esetében négy stb.... Ha n-et tekintjük a sokszög szögei számának, akkor mindig n-3. Tehát hárommal kevesebb, mint amennyi szöge van a síkidomnak. Ha viszont minden egyes csúcsból ennyi átló húzható, akkor nyilván az összes átlóból n-szer ennyi, tehát annyi, amennyi szöge van a sokszögnek. Ezzel csak annyi a probléma, hogyha az egyik csúcsból már húztunk egy átlót, és a vele szemben lévő csúcsból húzunk még egyet, akkor ugyan azt az átlót kapjuk. Tehát az n*(n-3)-at el kell osztani kettővel, hiszen minden csúccsal szemben elhelyezkedik egy másik csúcs. sokszög átlói.pngHa a háromszögnek 180° a négyszögnek 360° a belső szögeinek az összege, akkor mennyi mondjuk az hatszögnek?  az alsó képen egy szabályos hatszöget láthatunk, amit az átlóival háromszögekre bontottunk. Látható, hogy n-2, azaz négy háromszögre bonthatjuk ezt a síkidomot. Ez igaz bármelyik sokszögre. Mindig kettővel kevesebb háromszögre lehet bontani őket, mint ahány oldaluk van. Ha egy hatszög 4 db háromszögre bontható, akkor 4*180° a belső szögeinek összege. Jegyezzük meg ezt a képletet: (n-2)*180. 

sokszög belső szögek.pngHa a sokszög belső szögeinek összegét a fent vázolt módon kapjuk meg, akkor hogyan számolhatjuk ki a külső szögek összegét? Nézzük meg az alábbi hatszöget! Az alfa és a béta szögek mellékszögek, így 180°-ra egészítik ki egymást. Ez azt jelenti, hogy egy sokszög külső és belső szögeinek összege a sokszög szögeinek száma megszorozva 180°-kal. Nyilván, mert annyi külső szöge van a sokszögnek, ahány belső szöge. Ha ebből kivonjuk a belső szögeket, akkor megkapjuk a külső szögek nagyságát. Egy hatszög 6-2, azaz 4 háromszögre osztható szét. Tehát a belső szögeinek az összege 4*180, azaz 720°. A külső és belső szögek összege 6*180, azaz 1080°. 1080°-720°=360° 
Ez minden sokszögre igaz, a külső szögek összege 360°. 

külső szögek.png
Hogy számíthatjuk ki a sokszög középponti szögét? Egyáltalán mi az a középponti szög? Ha az alsó ábrára nézünk, akkor megtudjuk. Az alábbi hatszöget az hat darab háromszögre bontottuk. Ezt úgy értem el, hogy a csúcsokból a középpontba húztam szakaszokat. Egy egy ilyen háromszög belső csúcsának a szöge a középponti szög. Amint látható, egy kört lehet belerajzolni a hatszögbe. Ez azt jelenti, hogy az összes középponti szög összege 360°. Ha minden sokszöget annyi ilyen háromszögre tudunk bontani, mint ahány oldala van, akkor 360/n lesz a középponti szög nagysága. (Az n még mindig az oldalak vagy csúcsok száma.)középponti szög.png
Nézzük meg mi az a belső szög, és az az egyes sokszögeknél mennyi! A belső szög az, amelyik nem a középponti. Mondhatnád, hogy de abból kettő van! Ez igaz, viszont mivel egyenlő oldalú háromszögekre bontottuk  a síkidomot, ezért a képen látható Υ és ß nagysága megegyezik. Tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°. Ha alfa középponti szöget levonjuk a 180 fokból, akkor megkapjuk béta és gamma szöget. Mivel viszont ezek nagysága egyenlő, ezért simán elosztjuk kettővel, és megvan egyik és másik szög is. belső szög sokszögek.pngMekkora egy sokszög egyetlen külső szögének összege? Ha béta és gamma megegyezik, akkor gamma és gamma vessző is. Ha béta, gamma és alfa 180 fokos szöget alkotnak együtt, és gamma, gamma vessző és a külső szög is, akkor a külső és a középponti szög, és a külső szög egyforma nagyságúak. Tehát a sokszög külső szögeinek nagysága mindig megegyezik a sokszög középponti szögeinek nagyságával. Most nézzétek meg a négyzetről készült rajzokat />Itt egy paypal számla, amire tetszőleges összege utalhattok, ha hasznos volt számotokra az anyag: 

Szólj hozzá!


2013.03.17. 12:35 ertedamatekot

Halmaz feladatok

Tök jó, hogy az előző bejegyzésben megfogalmaztam, általában mit kell tudni a halmazokról, de a feladatok megoldása már más kérdés. Nézzünk egy egyszerű leckét!

Egy 225 fős társaságból 180-an kedvelik a Battlestar Galactica c. sorozatot, 120-an a Star Trek-et. 75 fő mindkét sorozatot kedveli. Egészítsd ki a Venn-diagramot! Bsg St1.png
Az elég nyilvánvaló, hogy a két halmaz, és a metszeteiknek az összege nem haladhatja meg a 225-öt, hiszen 225 embert kérdeztünk meg. Vajon mit kell tenni, ha el akarjuk ezt érni? Először is a metszet részbe (a középső részbe) be kell írnunk azoknak az embereknek a számát, akik mindkét sorozatot szeretik. Ők 75-en vannak. Ha 180-an kedvelik a Battlestar Galactica-t, akkor vajon hányan vannak közülük, akik a BSG mellett a Star Treket is szeretik nézni? Azt állítottuk, hogy 180-an szeretik a BSG-t, nem azt, hogy csak azt szeretik. Nyilván 180-75-en előszeretettel bámulják a BSG-t, de csak azt. Azaz 105-en.

Ugyancsak ilyen eljárással kapjuk meg azoknak a számát, akik kizárólag a Star Treket hajlandók nézni a két sorozat közül. Tehét 120-75 azaz 45 főről van szó. Hogy néz ki most az ábra? Bsg St megoldás1.png
Ha összeadjuk a számokat, akkor kijön a 225 fő, tehát jól végeztük a dolgunkat. Most nézzünk egy kicsit bonyolultabb feladatot!
Egy iskolába 365 tanuló jár. Közülük 180-nak van táblagépe, 190 -nek okostelefonja, 200-nak pedig laptopja. Harminc diák mindhárom eszközzel rendelkezik. 75 tanuló tudhat magáénak táblagépet és okostelefont is, 85 okotelefont és laptopot, valamint 95 táblagépet és laptopot. Harminc diák mindhárom eszközzel rendelkezik. A harmincat be is írhatjuk a legbelső részbe. A kérdés az, vajon mennyi írjunk a közös részekbe? Azt mondtuk, 75 tanuló rendelkezik táblagéppel és okostelefonnal. Nyilván közülük harmincan mindhárom-féle eszközt birtokolják. Ez azt jelenti, hogy 75-ből le kell vonni 30-at, és így megkapjuk a táblagép és okostelefon közös részét, azaz a kettő metszetét. Viszont a 95 okosteló+laptopos és 95 táblagép+laptopos közül is rendelkeznek akár mindhárom eszközzel, így belőlük is le kell vonni azt a bizonyos harmincat. 2. feladat1.png
Hogy néz ki most az ábránk? A 75-ből, a 85-ből és a 95-ből is levontuk a 30-at. Így a következő eredményt kapjuk: 2. feladat megoldás 1. rész1.png
Felmerül a kérdés, vajon hányan lehetnek azok, akik csak az egyik vagy csak a másik eszközt tudhatják magukénak? Nyilván a 180 táblagépesből 45-nek van okostelefonja, 30-nak mindhárom eszköze, és 65-nek pedig laptopja is. Akkor egyértelmű, hogy ezeket az értékeket le kell vonni a 180-ból. Így marad 40. Ha azt kérdezzük, hogy hány nebulónak van csak okostelefonja a fent említett eszközök közül, akkor a választ megint hasonló eljárással kapjuk meg. Ki kell vonni azokat az okostelefon többi halmazzal alkotott metszeteit az összes okostelefonos közül. Így 60 lesz az eredmény. A laptopnál hasonló módszerrel pedig szintén 50. Ha összeszámoljuk az összes metszetben és halmazban lévő elemeket, akkor megkapjuk hány tanulónak van egyáltalán bármilyen eszköze a három közül. Így kapunk 335 diákot. Viszont nekünk 365 nebulónk volt eredetileg. A jobb oldalon alul elhelyezkedő kis téglalap a komplementer halmazunk, tehát azoknak a diákoknak a számát kell beírnunk, akiknek nincs se táblagépük, se laptopjuk, se okostelefonjuk.2. feladat megoldás 2. rész1.png

2. feladat megoldás 3. rész1.png


Ha hasznos volt számodra a bejegyzés, akkor nyomd meg az alsó gombot! 

Itt egy paypal számla, amire tetszőleges összege utalhattok: 

Szólj hozzá!

Címkék: unió metszet halmaz részhalmaz halmaz feladatok halmaz feladat megoldások


2013.03.16. 20:17 ertedamatekot

Síkgeometria I.

A síkgeometria, síkbeli alakzatokkal foglalkozó tudományága a matematikának. Ebben a posztban a legalapvetőbb síkgeometria tételeket fogom kifejteni. Lehet, hogy sokaknak ez már ismerős lesz, és tudják, viszont én szükségesnek tartom leírni ezen alapfogalmakat.

Szögek

Hatféle szög létezik, ezek sorban a hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög a homorú szög és a teljes szög.

Hegyesszög: 0°-90°-ig. Nyilván azért nevezik hegyesszögnek, mert hegyes. hegyesszög1.pngA derékszög egy speciális, 90°-os szög. Így néz ki nagyjából: 

derékszög1.pngA tompaszög olyan szög, mely 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb. tompaszög1.png

Az egyenes szög éppen 180°-os. Tulajdonképpen egy egyenes.

egyenesszög1.pngA homorú szög 180°-nál nagyobb, de 360°-nál kisebb. 

homorúszög1.png

Végezetül a teljes szög éppen 360°-os, tehát egy teljes kört ír le. teljes szög1.pngA szögeket a görög ábécé betűivel jelöljük. Ha én nem így teszek, az azért van, mert lusta vagyok, és nincs kedvem paint-be különleges karaktereket importálni.

A háromszög

Most, hogy átismételtük milyen szögek léteznek, elemezzük egy kicsit az egyik legegyszerűbb síkgeometriai formát, a háromszöget. Ennél kevesebb szögű sokszögünk nem is igen lehet, viszont azért nem kéne csak úgy elsiklani felette. Szokták mondani, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°. De vajon miért van ez így? Nézzük meg a következő ábrát!három darab szöb 1801.png

A két piros egyenes három darab szögre bontja a fekete szakaszunkat. A fekete szakasz értelmezhető egyenes szögként is. Ha belegondolunk, teljesen mindegy hogyan próbáljuk elosztani a teljes szöveg a piros szakaszokkal, mindenképpen 180° lenne az összegük. Most fordítsuk meg a két piros szakaszt! háromszög1.png

Amint látható egy háromszöget kaptunk. Azt is észrevettük, hogyha a két másik szöggel ebben a formában akarjuk elosztani a fekete szakaszunkat, a fekete szakasznak mindenképpen egyenes szögnek kell lennie, ha mondjuk homorú szög lenne, akkor már nem három, hanem négy szöggel rendelkezne. homorú szöges háromszög1.png

Na ezért 180 º  a háromszög belső szögeinek összege. 
A háromszög csúcsait az ábécé nagy betűivel, a szögeit a görög ábécé betűivel, oldalait pedig az ábécé kis betűivel jelöljük.

Háromszögek típusai

 A háromszöget oldalai, és szögei szerint lehet csoportosítani. 
Oldalai szerint megkülönböztetünk szabályos háromszöget, melynek minden oldala egyenlő hosszúságú:szabályos háromszög1.png

Egyenlő szárú háromszöget, melynek két szára egyenlő hosszúságú. egyenlő szárú háromszög1.png

Végezetül általános háromszöget, melynek nincsenek azonos méretű oldalai. 

általános háromszög1.png

Szögei szerint megkülönböztetünk hegyesszögű, tompaszögű és derékszögű háromszöget. 

A hegyesszögű háromszögnek három darab hegyesszöge van. Például ez is az:

A tompaszögű háromszögnek van egy darab tompaszöge. tompaszögű háromszög1.png

A derékszögű háromszögnek pedig egy derékszöge van. (Szerintem nem kérdéses senki számára, hogy melyik a derékszög.) derékszögű háromszög1.png

Nevezetes szögpárok

Az első, és legegyszerűbb nevezetes szögpár, a mellékszög, vagy kiegészítő szög. Ha egy egyenes szöget egy szakasszal két részre osztunk, a szakasz és az egyenes által bezárt szögek 180°-ra fogják kiegészíteni egymást. Az ábrán az alfa és a béta szög egészítik ki egymást 180°-ra. Szerintem ez különösebb magyarázatra nem szorul.mellékszög1.pngA következő ilyen szögpár a csúcsszögek, melyek mint látni fogjuk páronként egyenlő nagyságúak. Az ábrán két darab csúcsszögpár látható. Értelem szerűen a zöldek és a pirosak alkotnak egy párt. Az a és b, valamint a d és c amint az ábra is mutatja egyenlő nagyságú szögek.  csúcsszögek1.pngAz egyállású szögek szintén egyenlő nagyságúak. Az alsó ábrán láthatjuk, hogy a és b szögek ugyan akkorák. Ez abban az esetben fordulhat elő (amint a rajz is mutatja), hogyha húzunk két párhuzamos szakaszt (vagy egyenest), és azt ugyan azzal az átlóval "húzzuk át". Mivel az egyenesek párhuzamosak, ezért az átlónak mindkét egyenessel egyenlő nagyságú szöget kell bezárnia.egyállású szögek1.png

Legvégül tekintsük meg a váltószögek esetét. A váltószögek (milyen meglepő) szintén egyenlő nagyságúak. Nehéz lenne körülírni, hogy mi is az a váltószög, úgyhogy újra egy ábrát hívok segítségül. Ez az ábra majdnem ugyan az, mint az előző, csak egy másik szög is be van jelölve. A legelső nevezetes szögpárunk a csúcsszög volt. Ha "a" és "b" szögek egyenlőek, akkor "b" és "c" szögek is azok, hiszen ezek egymásnak csúcsszögei. Egyébként "c" szöget nevezzük "a" szög váltószögének. váltószögek1.png
Ha egy háromszög oldalainak síkjait meghosszabbítjuk, akkor látjuk, hogy az adott oldal és a belőle kiinduló másik oldal, a meghosszabbítással együtt egy teljes szöget alkotnak. Ebből az következik, hogy a külső szög minden esetben 180 fokra egészíti ki a belső szöget. Ez az eset tulajdonképpen a mellékszög problémához vezet vissza. külső szögek 1.pngLegvégül nézzünk meg egy tételt a háromszögről. A háromszög bármelyik oldalának külső szöge megegyezik a két nem mellette fekvő oldalak belső szögeinek összegével. Lássunk erről megint egy ábrát! Be kell látnunk, hogy gamma és gamma vessző szögek egyforma nagyságú szögek, mert egyállásúak. (Jobb oldalon alul és felül középen lévő szögek.) Béta és béta vessző szögek is egyforma nagyságúak, hiszen váltószögek. Ha alfa és béta szöget "egybeolvasztjuk", akkor feltűnik, hogy együtt gamma vessző szög csúcsszögei. Mivel a csúcsszögek egyforma nagyságúak, ezért alfa és béta szög összege megegyezik gamma szög összegével. külső szög nem mellette fekvő szögek1.png

Ha hasznosnak találtad a bejegyzést, fejezd ki mennyire: 

Szólj hozzá!


2013.03.16. 20:17 ertedamatekot

Halmazok, számhalmazok

Egy nagyon egyszerű témával fogok indítani a halmazokkal. Mi az a halmaz? A halmaz egy olyan fogalom, melyet alapfogalomként tart számon a matematika, tehát nem definiáljuk. Ezzel ugyan sokat nem tudtunk meg a halmazokról, de viszont ezt feltétlenül szükséges tudni. 
Ha a saját szavaimmal szeretném megfogalmazni mi az a halmaz, akkor azt írnám, hogy a halmazok bizonyos elemeket tartalmazó objektumok. 
Tehát mondjuk a halmaz lehet az 1,2,3,4 számok, vagy lehet például a Kairóban élő nőtlen felnőtt korú férfiak. Az előbb leírtak a halmaz ELEMEI. Fontos, hogy a halmaz elemeit mindig egyértelműen meg kell határozni. A szép nők, például nem alkotnak egy halmazt, mert a szép egy relatív fogalom. Viszont a 165 cm magas nők már igen. 
A halmazokat vagy az ábécé nagy betűivel jelöljük, vagy úgy, hogy kapcsos zárójelben felsoroljuk a halmaz elemeit.
Tehát: A,B,C stb... vagy A={1,2,3,4}. 
Azt, hogy egy bizonyos szám eleme egy halmaznak a következőképpen jelöljük. 1 є A vagy x є A
Nyilván az egy és az x helyére bármi írható, ami az adott halmaz eleme. 
Illetve jelölhetjük még a halmazokat Venn-diagram segítségével. Ezek az iskolából már jól ismert ellipszis (vagy kör) alakú objektumok. A halmazok megadhatók az elemeik tulajdonságaival is mint pl: A={kettővel osztható pozitív egész számok}
Létezik az úgynevezett üres halmaz melynek jele: Ø 
Tehát ezzel jelöljük, hogy az ég világon semmilyen elemet nem tartalmaz. 

A halmazokkal végezhetünk műveleteket is. Ezek a következők.

Megadhatjuk egy halmaz részhalmazát. Jele:valódi részhalmaz.png
tehát A halmaz részhalmaza H halmaznak. 
Ha A halmaz tartalmazza következő elemeket: {1,2,3,4,5,6,7,8}
és H halmaz pedig : {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
Akkor A halmaz részhalmaza H halmaznak, hiszen A halmaz minden eleme, eleme H halmaznak is. Viszont H halmaznak van olyan eleme, ami nem eleme A halmaznak. Ezek konkrétan a 9,10,11,12,12 és a 14 számok. Fontos, hogyha A részhalmaza H-nak, akkor H nem részhalmaza A-nak. Ezen logika mentén, viszont H saját magának is részhalmaza, illetve egy olyan halmaznak is részhalmaza, amelyik ugyan azokat az elemeket tartalmazza mint ő. Ezért bevezetjük most a VALÓDI RÉSZHALMAZ fogalmát.
A például valódi részhalmaza H-nak, hiszen az elemeik nem egyeznek meg teljesen, csak A minden eleme H-nak is eleme. Tehát valódi részhalmaz esetén nem engedünk meg egyenlőséget a halmazok között. A valódi részhalmaz jelölése: 

részhalmaz.png
A következő fogalom amit bevezetünk, az unió fogalma. Ez tulajdonképpen két halmaz elemeinek összeadását jelenti. Jelölése: Únió.png
A és H halmaz uniója a következő: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
Nagyon fontos, hogy attól még, hogy kétszer írunk egy elemet, a halmaznak nem lesz több eleme. Tehát fölösleges leírni A halmaz elemeit kétszer.
Venn-diagram: A piros rész jelöli, melyik elemekről van szó. unió venn diagram.png

Létezik az úgynevezett metszet, mely két halmaz közös elemeit tartalmazza. 
Jelölése:Metszet.png
Vegyünk most másik két halmazt, mint az eredetik voltak. Legyen a nevük B és C.
B={1,2,3,4,5,6,7}
C={5,6,7,8,9,10,11,12}
Látható, hogy a közös elemek az 5 a 6 és a hét lesznek. Ha Venn-diagramon ábrázoljuk, akkor a két ellipszis közös részében fognak elhelyezkedni ezek a számok pont így: A metszet.png

(Itt is a piros rész jelzi melyik elemekről van szó, ne zavarjon meg titeket az A és a H betű, mert itt általánosan ábrázolom a metszet halmazt, nem konkrétan a B és a C halmazra vonatkozóan.)

Legvégül nézzük meg mi is az a különbség halmaz. A különbség halmaz, két halmaz egymásból való kivonásából születik. Ez azt jelenti, hogyha H-ból kivonjuk A-t, akkor azok az elemek maradnak meg, amelyek H-nak ugyan elemei, de A-nak nem. Ez a következőképpen néz ki:különbség venn diagram.png

Jelölése: H\A, tehát egy sima per jelet rakunk a két halmaz közé. Arra ügyelni kell, hogy nem mindegy melyik halmazból vonjuk ki a másikat!!
Egy halmaz vizsgálatakor meg kell adni azt az univerzumot, amiben értelmezzük a halmazt. Ennek a jelen U. Ezt alaphalmaznak is nevezhetjük. Ha mondjuk a kétjegyű, pozitív egész számok az univerzum, akkor a kétjegyű, pozitív egész, páros számok lehet belőlük egy halmaz, a páratlanok pedig egy másik. Fontos fogalom még a komplementer halmaz kifejezés. A komplementer halmaz olyan elemekből áll, melyek az eredeti halmazunknak, legyen mondjuk A halmaz nem elemei, de az alaphalmaznak igen. Ha azon az univerzumon belül akarjuk értelmezni ezt a kifejezést, amit az előbb megadtunk, akkor a kétjegyű pozitív egész, páros számok halmaza komplementer halmaza a kétjegyű, negatív, páros egész számoknak. 

Ha tetszőlegesen kiválasztott számok alkothatnak egy halmazt, akkor a számokat, tulajdonságaik alapján besorolhatjuk halmazokba? A válasz igen! Nézzük sorra, mik ezek a halmazok.

Számhalmazok

A pozitív egész számok, éppen azt jelentik, amit elsőre gondolnánk. 1,2,3,4,5,6, stb.... egészen
a végtelenig. Ezek segítségével meg lehet számolni, hány birkánk van, mennyi cseréptálat késíztettünk. Tehát azok a dolgok értelmezhetők vele, amelyek egészek, és nem akarjuk őket részekre osztani.  Ha valakinek egyetlen birkája sincs, akkor 0 birkája van értelem szerűen. A nulla és a pozitív egész számok alkotják a természetes számok halmazát. Ennek a jele: N Egész szám lehet például az adósság is. Ha valakinek megettük két birkáját, akkor tartozunk neki kettővel. A tartozás negatív szám. Eljutottunk a negatív egész számok halmazáig. Ha az előző halmazokat egybeolvasztjuk, akkor az egész számok halmazáig jutunk el. Ennek a jele: Z.
Mivel fél birkát is meg lehet enni, ezért nyilván valahogyan jelölni kellett a tört számokat. Ha egy számot két egész szám hányadosaként felírhatunk, akkor az egy racionális szám. Fél birka például 1/2 (egyketted) birka. Ha nyolc felé osztunk egy birkát, akkor az egynyolcad 1/8 birka. Így már szerintem teljesen érthető a "két egész szám hányadosa" kifejezés. Az iylen számokat racionális számoknak nevezzük. Jelük: Q
Viszont nagyon hamar észrevették az ókori emberek, hogy nem minden nem egész szám írható úgy, hogy két egész számot elosztunk egymással. Ilyen például a √2. (gyök kettő). Ez az a szám, amit ha megszorzunk önmagával, kettőt kapunk. Bárhogyan osztunk egész számokat, ezt az eredmény nem fogjuk tudni megkapni. Az ehhez hasonló számokat irracionális számoknak nevezzük és Q*-al jelöljük őket. 
Ha a racionális, és irracionális számokat összetesszük, akkor a valós számok halmazát kapjuk. Tehát a valós számok a racionális és irracionális számokból állnak. A valós számok jelölese: R
Mivel elég nehéz egy blogfelület szövegszerkesztőjében megtalálni speciális karakterkódokat (bár azért vannak szép számmal) ezért sima nagy betűkkel jelöltem a számhalmazok jeleit. Így is lehet, de jobb, ha a következő jelöléseket használjátok: 

számhalmazok jelei.png

Ha pozitív egész számokról vagy negatív egész számokról van szó, akkor egyszerűen csak felső indexbe egy + vagy egy - jelet kell rakni. 

Szólj hozzá!

Címkék: unió metszet halmaz számhalmaz természetes számok valós számok pozitív egész számok racionális számok irracionális számok halmazműveletek részhalmaz valódi részhalmaz


2013.03.15. 19:17 ertedamatekot

Első blogbejegyzésem

Sziasztok!

Ezt a blogot azért hoztam létre, hogy segítsek azoknak, akiknek problémájuk akad a matematikával. Nekem is volt vele gondom elég. Amikor Gazdálkodási és Menedzsment szakra jelentkeztem, még nem tudtam mennyire komolyan veszik a matematikát. Volt egy Analízis és algebra nevezetű tárgyam, ami csak másodszorra ment, egész egyszerűen, mert nem rendelkeztem megfelelő alapokkal a matektanuláshoz. A bukás után elővettem a középiskolás tananyagot, elkezdtem komolyan felkészülni belőle. Az eredmény talán egy kicsit számomra is meglepő volt, viszonylag könnyen, és ráadásul meglepően gyorsan elsajátítottam az alapokat. Felnőtt fejjel, valahogy egyszerűbbnek tűnt az egész. Rájöttem mennyire nem bonyolult a matematika, és mennyire rosszul oktatják az általános iskolától a felsőoktatásig.

Ebben talán az is közrejátszik, hogy a matematika rendelkezik egy olyan műnyelvvel, és jelölésrendszerrel, amit kénytelenek vagyunk elsajátítani. A középiskolában ezt még annyira nem erőltetik, viszont az egyetemeken és a főiskolákon már ezek segítségével folyik az oktatás. A másik probléma pedig az, hogy a legtöbb ember tanulási mechanizmusaitól teljesen eltérően fejtenek ki különböző tételeket. Sokaknak egy bonyolultabb eljárás vagy tézis megtanulásához szüksége van arra, hogy tudja, vajon mire nyújt megoldást az. 
Ráadásul sokan azt gondolják, hogy egy matematikai tétel bizonyításával lehet a legjobban megtanítani az embert egy tantételre, tézisre. Ez egy butaság, hiszen ha belegondolunk, a bizonyítások már csak az után születtek, hogy egy matematikus rájött valamire. A matematikusnak nem a bizonyítás pattant ki a fejéből, a bizonyítás egy technikai eljárás, amivel az tézisünket igazoljuk. Valójában ahhoz, hogy egy fogalmat megtanuljunk, hogy valamit elsajátítsunk, nincs is szükség a bizonyítására, ezzel oktatni pedig kifejezetten káros. Gondoljunk csak abba bele, hogyha nem tudnánk még mi az a szék, és valaki be akarná bizonyítani nekünk, hogy négy lába van. Biztosan elég hülyén néznénk rá. Persze nem általános érvényű szabály. Ellenben ha egy konkrét példával kezdünk, egy konkrét problémát oldunk meg, akkor abból már tudunk következtetni az általánosra. Hiszen az adott matematikai tétel is egy bizonyos probléma megoldására született, aki kitalálta, az egy konkrét helyzetet akart orvosolni vele. Ha egy zseni is a problémából tudott csak ihletet meríteni, miért várjuk el egy átlag embertől, hogy másképpen gondolkodjon?

Példának okáért vegyük a határérték kérdését. Az an sorozatnak "b" a határértéke, ha "b" epszilon sugarú környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme létezik. Érti valaki mi az a határérték? 

Most nézzünk egy példát: 5-(1/n). 
Még ez se mond sokat ugye? De ha azt mondom, hogy az n, az a pozitív egész számok sorban (1;2;3;4;5 stb...), és a sorozat egyes tagjait az n helyére behelyettesített pozitív egész számok alkotják, akkor már más a kérdés.

Az első tag: 5-(1/1) tehát 5-1 azaz 4
Második tag: 5-(1/2) azaz 5-0,5 tehát 4,5
huszadik tag: 5-(1/20) tehát 5-0,05=4,95
Két megfigyelést is tehetünk. Az egyik az, hogy minél nagyobb indexű, azaz magasabb sorszámú sorozat tagról van szó, annál közelebb van az érték az 5-höz. A másik pedig az, hogy az 5 környezetében nem tudunk legnagyobb elemet választani, mert ha az egymilliomodik tagról van szó, akkor 1/1 000 000-dal lesz kisebb az eredmény az ötnél. Ha az egymilliárdomodik tagról, akkor... Tehát habár a sorozat a végtelenségig folytatható, nem fogja elérni az ötöt. Ebből az következik, hogy az öt lesz a sorozat határértéke. Ez egy új fogalom, jegyezzétek meg! Úgy is mondhatjuk, hogy az öthöz konvergál, vagy közelít a sorozat ha az egyre magasabb indexű tagok felé mozdulunk el. 
Nézzük csak mit mondtunk az epszilon sugarú környezetről! Ezen a környezeten kívül, a sorozatnak véges sok, azaz megszámlálható eleme van. Vajon ha a teljes sorozatot nézzük, végtelen számú eleme van a sorozatnak? Igen! Hiszen éppen az előbb mondtuk, hogy akár egy egymilliárdomoddal is megközelíthetjük az ötöt, bármilyen nagy számot írhatunk az n helyére. Viszont ha fogjuk magunkat, és a százezredik tagnál elvágjuk ketté a sorozatot, akkor az egyik felén a csonknak (az "alsó" felén) 99 999 elem lesz, a felsőn viszont végtelen, hiszen százezertől végtelenig végtelen szám van. Tehát vettük az egy százezred nagyságú környezetét a határértéknek, azaz az ötnek. Ez az a bizonyos epszilon sugarú környezet. 

Nehéz volt? Így már annyira szerintem nem... Bár egy kicsit csaltam, mert az analízis könyvekben külön tisztázzák először is a valós számok tulajdonságait, majd a konvergencia, a határérték stb... fogalmát, de szerintem érezhető miről is írok valójában. Ezeknek az elveknek a jegyében fogom írni a bejegyzéseimet. Nyilván először az alapokat próbálom majd lefektetni, a középiskolás matematika segítségével, az egyetemi matek később jön. Nyilván a blogot folyamatosan töltöm fel, van mit feltenni rá... A különböző leckékhez megpróbálok feladatokat is társítani, amiknek a megoldását leírom a posztban.  

Mivel viszonylag sokat fogok foglalkozni vele, ezért nem szeretném teljesen ingyen csinálni a dolgot, viszont megfelelő informatikai felület híján nem tudok külön külön pénzfizetés után elérhetőséget nyújtani az adott cikkekhez. Ha neked ért valamit a blogbejegyzés, amiből tanultál, akkor a megadott paypal számlámra fizess akkora összeget, amekkorát TE gondolsz. Ergo internetes becsületkasszás módszert valósítok meg a blogomon.   Ilyet nem nagyon láttam még sehol, úgyhogy azt is lehet mondani, hogy ez egy kísérleti megoldás. Két szempontból tartom jónak ezt az ötlete. Egyrészt az árképzés sokszor nem csak a vállalkozás költségeit veszi figyelembe, hanem azt is, vajon a fogyasztók mennyit adnának ki egy egy termékért, szolgáltatásért. Másrészt pedig nem veszel zsákbamacskát, ha TE nem tartod megfelelőnek a módszereimet, akkor egyszerűen nem fizetsz a bejegyzésekért. Ha most nincs pénzed, fizethetsz akkor, amikor lesz. Ha szerinted csapnivalóan rosszak a cikkeim, és semmit nem tanultál belőlük, akkor pedig NE ADJ KI SEMMIT ÉRTE! 

Itt egy paypal számla, amire tetszőleges összege utalhattok: 

Szólj hozzá!

Címkék: matematika matematika oktatás matematika tanulás matematika érthetően matematika korrepetálás